В элементарной геометрии равносторонним треугольником считается правильный многоугольник, имеющий три стороны. Если несколько расширить и конкретизировать это определение, то получится, что треугольник является правильным в том случае, если все его стороны имеют одинаковую длину, а углы равны 60° . Тому, как найти , учат на уроках геометрии в средней школе, а на практике эти знания нередко приходится применять инженерам-конструкторам и архитекторам.
Вычисление площади равностороннего треугольника
| S | = | ah |
a - сторона треугольника
h - высотат треугольника
S - площадь
Зодчим площадь равностороннего треугольника приходится находить в том случае, если такую форму имеют элементы зданий, проектированием которых они занимаются. Таковыми могут быть нестандартные окна (как обычные, так и мансардные), которые нередко встречаются в зданиях, имеющих оригинальное архитектурное решение. Их проектировщикам формула площади равностороннего треугольника требуется для того, чтобы выяснить, достаточный ли размер будет иметь окно для того, чтобы через него в помещение проникало необходимое количество дневного света. Кроме того, форму равносторонних треугольников достаточно часто имеют фронтоны тех жилых загородных домов и коттеджей, а также хозяйственных построек, скаты крыш которых иногда располагаются под углом 60° .
Равносторонние треугольники нередко можно встретить в составе различных технических устройств и инструментов. Например, такую форму имеют сменные пластины проходных твердосплавных токарных резцов. На державке они устанавливаются путем установки на специальную ось, а фиксируются при помощи клиновидного стального элемента, прижим которого осуществляется за счет резьбового соединения. После того, как одна из граней вставки затупляется в процессе резания, пластина снимается, поворачивается на 60° , фиксируется заново, в результате чего может использоваться другая, острая грань. Таким образом, за счет того, что твердосплавная пластина имеет форму равностороннего треугольника, такая переустановка может совершаться три раза. Заточке затупившиеся грани не подлежат, и эти элементы режущего инструмента утилизируются путем переплавки.
Как автомобилистам, так и пешеходам отлично известны дорожные знаки, представляющие собой равносторонние треугольники. Такая форма делает их более заметными, и поэтому они в большинстве своем являются предупреждающими. Само собой разумеется, что в процессе их разработки и написания соответствующей нормативно-технической документации приходилось использовать формулу расчета площади равностороннего треугольника .
Великолепно знают, что такое равносторонний треугольник , любители такой популярной игры, как бильярд. При помощи специальных рамок, имеющих соответствующую форму, происходит установка шаров в определенном порядке перед началом каждой партии. Производятся эти изделия из древесины, пластических масс или металлов.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Среди геометрических фигур, которые рассматриваются в разделе геометрия, наиболее часто приходится сталкиваться при решении тех или иных задач с треугольником. Он представляет собой образованную тремя прямыми. Они в одной точке не пересекаются и не являются параллельными. Можно дать иное определение: треугольник представляет собой ломаную замкнутую линию, состоящую из трех звеньев, где ее начало и конец соединяются в одной точке. Если все три стороны имеют равную величину, то это правильный треугольник, или, как говорят, равносторонний.
Как же определить Для решения подобных задач необходимо знать некоторые свойства этой геометрической фигуры. Во-первых, у данного все углы равны. Во-вторых, высота, которая опускается с вершины на основание, является одновременно и медианой, и высотой. Это говорит о том, что высота делит вершину треугольника на два равных угла, а противоположную сторону - на два равных отрезка. Так как равносторонний треугольник состоит из двух то при определении искомой величины необходимо использовать теорему Пифагора.
Расчет площади треугольника можно произвести различными способами, в зависимости от известных величин.
1. Рассмотрим равносторонний треугольник с известными стороной b и высотой h. Площадь треугольника в этом случае будет равна одной второй произведения стороны и высоты. В виде формулы это будет выглядеть так:
Говоря словами, площадь равностороннего треугольника равна одной второй произведения его стороны и высоты.
2. Если известна только величина стороны, то прежде, чем искать площадь, необходимо вычислить его высоту. Для этого рассмотрим половину треугольника, в котором высота будет одним из катетов, гипотенуза - это сторона треугольника, а второй катет - половина стороны треугольника согласно его свойствам. Все из той же теоремы Пифагора Как из нее известно, квадрат гипотенузы соответствует сумме квадратов катетов. Если рассматривать половину треугольника, то в данном случае сторона является гипотенузой, половина стороны - одним катетом, а высота - вторым.
(b/2)²+ h2= b² , отсюда
h²= b²-(b/2)². Приведем к общему знаменателю:
Как видим, высота рассматриваемой фигуры равна произведению половины его стороны и корня из трех.
Подставим в формулу и увидим: S=1/2* b* b/2√3= b²/4√3.
То есть, площадь равностороннего треугольника равна произведению четвертой части квадрата стороны и корня из трех.
3. Есть и такие задачи, где необходимо определить площадь равностороннего треугольника при известной высоте. И это оказывается проще простого. Мы уже вывели в предыдущем случае, что h²= 3 b²/4. Дальше необходимо отсюда вывести сторону и подставить в формулу площади. Выглядеть это будет так:
b²=4/3* h², отсюда b=2h/√3. Подставив в формулу, по которой находится площадь, получим:
S=1/2* h*2h/√3, отсюда S= h²/√3.
Имеют место задачи, когда необходимо найти площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной или описанной окружности. Для этого расчета также существуют определенные формулы, которые выглядят следующим образом: r = √3* b/6, R=√3* b/3.
Действуем уже по знакомому нам принципу. При известном радиусе, выводим из формулы сторону и вычисляем ее, подставив известную величину радиуса. Полученное значение подставляем в уже известную формулу для расчета площади правильного треугольника, проводим арифметические вычисления и находим искомую величину.
Как видим, для того, чтобы решить аналогичные задачи, необходимо знать не только свойства правильного треугольника, а и теорему Пифагора, и радиус описанной и вписанной окружности. Для владеющих этими знаниями решение подобных задач не будет представлять особого труда.
Самые часто задаваемые вопросы
Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.
Какие виды оплаты вы принимаете?
Ответ
Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.
Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.
Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.
Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок?
Ответ
Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.
Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании?
Ответ
Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.
Последние отзывы
Виктор:
Очень доволен своим дипломом. Спасибо. Если бы Вы еще паспорта научились делать, это было бы идеально.
Карина:
Сегодня получила свой диплом. Спасибо за качественную работу. Все сроки тоже соблюдены. Обязательно буду рекомендовать Вас всем своим знакомым.
В школьном курсе геометрии огромное количество времени уделяется изучению треугольников. Ученики вычисляют углы, строят биссектрисы и высоты, выясняют, чем фигуры отличаются друг от друга, и как проще всего найти их площадь и периметр. Кажется, что это никак не пригодится в жизни, но иногда все-таки полезно узнать, например, как определить, что треугольник равносторонний или тупоугольный. Как же это сделать?
Типы треугольников
Три точки, которые не лежат на одной прямой, и отрезки, которые их соединяют. Кажется, что эта фигура - самая простая. Какими могут быть треугольники, если у них всего три стороны? На самом деле вариантов довольно большое количество, и некоторым из них уделяется особое внимание в рамках школьного курса геометрии. Правильный треугольник - равносторонний, то есть все его углы и стороны равны. Он обладает рядом примечательных свойств, о которых речь пойдет дальше.
У равнобедренного равны только две стороны, и он также довольно интересен. У прямоугольного и как несложно догадаться, соответственно, один из углов прямой или тупой. При этом они также могут равнобедренными.
Существует и особый называемый египетским. Его стороны равны 3, 4 и 5 единицам. При этом он является прямоугольным. Считается, активно использовался египетскими землемерами и архитекторами для построения прямых углов. Есть мнение, что с его помощью были возведены знаменитые пирамиды.
И все-таки все вершины треугольника могут лежать на одной прямой. В этом случае он будет называться вырожденным, в то время как все остальные - невырожденными. Именно они и являются одним из предметов изучения геометрии.
Треугольник равносторонний
Разумеется, правильные фигуры вызывают всегда наибольший интерес. Они кажутся более совершенными, более изящными. Формулы вычисления их характеристик зачастую проще и короче, чем для обычных фигур. Это относится и к треугольникам. Неудивительно, что при изучении геометрии им уделяется достаточно много внимания: школьников учат отличать правильные фигуры от остальных, а также рассказывают о некоторых их интересных характеристиках.
Признаки и свойства
Как нетрудно догадаться из названия, каждая сторона равностороннего треугольника равна двум другим. Кроме того, он обладает рядом признаков, благодаря которым можно определить, правильная ли фигура или нет.
Если наблюдается хотя бы один из вышеперечисленных признаков, то треугольник - равносторонний. Для правильной фигуры справедливы все упомянутые утверждения.
Все треугольники обладают рядом примечательных свойств. Во-первых, средняя линия, то есть отрезок, делящий две стороны пополам и параллельный третьей, равна половине основания. Во-вторых, сумма всех углов этой фигуры всегда равна 180 градусам. Кроме того, в треугольниках наблюдается еще одна любопытная взаимосвязь. Так, против большей стороны лежит больший угол и наоборот. Но это, конечно, к равностороннему треугольнику отношения не имеет, ведь у него все углы равны.
Вписанные и описанные окружности
Нередко в курсе геометрии учащиеся также изучают то, как фигуры могут взаимодействовать друг с другом. В частности, изучаются окружности, вписанные в многоугольники или описанные около них. О чем идет речь?
Вписанной называют такую окружность, для которой все стороны многоугольника являются касательными. Описанной - ту, которая имеет точки соприкосновения со всеми углами. Для каждого треугольника всегда можно построить как первую, так и вторую окружность, но только одну каждого вида. Доказательства двух этих
теорем приводятся в школьном курсе геометрии.
Помимо вычисления параметров самих треугольников, некоторые задачи также подразумевают расчет радиусов этих окружностей. И формулы применительно к
равностороннему треугольнику выглядят следующим образом:
где r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, a - длина стороны треугольника.
Вычисление высоты, периметра и площади
Основные параметры, вычислением которых занимаются школьники во время изучения геометрии, остаются неизменными практически для любых фигур. Это периметр, площадь и высота. Для простоты расчетов существуют различные формулы.
Так, периметр, то есть длина всех сторон, вычисляется следующими способами:
P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, где a - сторона правильного треугольника, R - радиус описанной окружности, r - вписанной.
h = (√ ̅3/2)*a, где a - длина стороны.
Наконец, формула выводится из стандартной, то есть произведения половины основания на его высоту.
S = (√ ̅3/4)*a 2 , где a - длина стороны.
Также эта величина может быть вычислена через параметры описанной или вписанной окружности. Для этого также существуют специальные формулы:
S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2 , где r и R - соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей.
Построение
Еще один интересный тип задач, касающийся в том числе и треугольников, связан с необходимостью начертить ту или иную фигуру, используя минимальный набор
инструментов: циркуль и линейку без делений.
Для того чтобы построить правильный треугольник с помощью только этих приспособлений, необходимо выполнить несколько шагов.
- Нужно начертить окружность с любым радиусом и с центром в произвольно взятой точке А. Ее необходимо отметить.
- Далее нужно провести прямую через эту точку.
- Пересечения окружности и прямой необходимо обозначить как В и С. Все построения должны проводиться с максимально возможной точностью.
- Далее надо построить еще одну окружность с тем же радиусом и центром в точке С или дугу с соответствующими параметрами. Места пересечения будут обозначены как D и F.
- Точки B, F, D необходимо соединить отрезками. Равносторонний треугольник построен.
Решение подобных задач обычно представляет для школьников проблему, но это умение может пригодиться и в обычной жизни.
